1、无理数是什么意思？
无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数。
如圆周率、2的平方根等。
实数（real
munber)分为有理数和无理数(irrational
·无理数与有理数的区别：
1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4=4.0,
1/3=0.33333……而无理数只能写成无限不循环小数,
比如√2=1.414213562…………根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数.
2、所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能。根据这一点，有人建议给无理数摘掉“无理”的帽子，把有理数改叫为“比数”，把无理数改叫为“非比数”。本来嘛，无理数并不是不讲道理，只是人们最初对它不太了解罢了。
利用有理数和无理数的主要区别，可以证明√2是无理数。
证明：假设√2不是无理数，而是有理数。
既然√2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：
又由于p和q没有公因数可以约去，所以可以认为p/q
为既约分数,即最简分数形式。
把
两边平方
得
即
由于2q^2是偶数，p
必定为偶数，设p=2m
由
得
同理q必然也为偶数，设q=2n
既然p和q都是偶数，他们必定有公因数2，这与前面假设p/q是既约分数矛盾。这个矛盾是有假设√2是有理数引起的。因此√2是无理数。
2、什么是无理数定义
无理数定义无限不循环小数。
无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。
常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。
可以看出，无理数在位置数字系统中表示（例如，以十进制数字或任何其他自然基础表示）不会终止，也不会重复，即不包含数字的子序列。例如，数字π的十进制表示从3.141592653589793开始，但没有有限数字的数字可以精确地表示π，也不重复。
必须终止或重复的有理数字的十进制扩展的证据不同于终止或重复的十进制扩展必须是有理数的证据，尽管基本而不冗长，但两种证明都需要一些工作。数学家通常不会把“终止或重复”作为有理数概念的定义。
历史
希伯索斯的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明了它不能同连续的无限直线等同看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。
于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了。不可公度量的发现连同芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次数学危机，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学和逻辑学的发展，并且孕育了微积分思想萌芽。
3、有理数无理数的定义
有理数的定义：有理数是整数和分数的统称。无理数的定义：无理数是所有不是有理数字的实数。无理数也叫做无限不循环小数，是实数范围内不能表示成两个整数之比的数。实数是有理数和无理数的总称。
有理数是什么
有理数是整数和分数的集合。有理数集可以用大写黑正体符号Q代表，是元素为全体有理数的集合。正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。
无理数是什么
无理数可以通过非终止的连续分数来处理，是实数范围内不能表示成两个整数之比的数，如圆周率、圆周长与其直径的比值、欧拉数e、黄金比例φ等等。无理数，也称为无限不循环小数，最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。当两个线段的长度比是无理数时，线段也被描述为不可比较的，这意味着它们不能“测量”
4、什么叫做无理数
无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。
常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。
无理数的发现：伟大的数学家毕达哥拉斯认为：世界上只存在整数和分数，除此以外，没有别的什么数了。可是不久就出现了一个问题：当一个正方形的边长是1的时候，对角线的长m等于多少。是整数呢，还是分数。
毕达哥拉斯和他的门徒费了九牛二虎之力，也不知道这个m究竟是什么数。世界上除了整数和分数以外还有没有别的数。这个问题引起了学派成员希伯斯的兴趣，他花费了很多的时间去钻研，最终希伯斯断言：m既不是整数也不是分数，是当时人们还没有认识的新数。
从希伯斯的发现中，人们知道了除了整数和分数以外，还存在着一种新数，就是一个新数，当时人们觉得，整数和分数是容易理解的，就把整数和分数合称“有理数”，而希伯斯发现的这种新数不好理解，就取名为“无理数”。
来源：百度百科-无理数
来源：百度百科-希伯斯
